الگوسازی بورس به کمک الگوریتم GBM

چند وقت پیش از دانشگاه دیکینز استرالیا شخصی مراجعه کرد و با هم چند تا پروژه رو جلو بردیم. من اول متون مورد نیاز رو فارسی می نوشتم بعد اونها رو انگلیسی می کردم و کارو جلو می بردم. این متن قسمتی از یکی از اون کاهاست. الان دارم با یه دانشجوی دکتری کار می کنم که اون هم روی بورس کار می کنه. اگر تمایل داشته باشید می تونیم با هم بحث رو جلو ببریم.

به منظور الگوسازی بهینه قیمت سهام، در گام نخست بایستی تاثیر عوامل اقتصادی، فیزیکی و… بر قیمت سهام در قالب معادلات انتشار بیان شود و در گام بعد باید ضرایب معادله انتشار برآورد شود. با کاهش اریب ضرایب معادله انتشار، خطای قیمتگذاری نیز کاهش مییابد. بنابراین رویکرد استفاده شده در برآورد ضرایب معادالت انتشار نیز دارای اهمیت بسزایی در کاهش خطای قیمتگذاری داراییهای مالی به ویژه مشتقات مالی است.

حرکت براونی هندسی دارای دو اشکال اساسی است نخست در این الگو نوسانات بازده داراییهای مالی در طی زمان ثابت است که نتایج تجربی ثابت بودن نوسانات را  تایید نمیکنند. [۱]دوم در این الگو بازده دارایی دارای توزیع نرمال است که نتایج تجربی حاکی عدم نرمال بودن توزیع بازده دارند.

[۲]در پژوهشی تحت عنوان ” نوسانات تصادفی ناپارامتریک ” با به کارگیری رویکرد ناپارامتریک ضرایب الگوی نوسان تصادفی را برآورد نمود.

[۳] بر اساس مطالعات وایت و اندرسون الگوی نوسانات تصادفی عملکرد بهتری نسبت به الگوهای با نوسانات ثابت در الگوسازی قیمت سهام، شاخص سهام و قیمت ارز دارد. دو روش که جهت پیشبینی قیمت سهام توسط فعالین بازار سهام استفاده میشود اشاره میشود. این دو روش عبارت اند از [۲] تئوری تکنیکال یا Stochastic volatility و تئوری بنیادی یا تحلیل ارزش ذاتی

یکی از معایب الگوی حرکت براونی هندسی ثابت در نظر گرفتن نوسانات است و مشکل دیگر این الگو عدم توجه به نقش اطلاعات در بازار سهام است

در خصوص مفاهیم Volatility و Drift نیز می توان موارد زیر را ارائه کرد :

The volatility is a constant characteristic of a stock. It gives an idea about the stability of stock price [4].

Relatively high volatility means that the stock price varies continuously within relatively large interval.

در واقع نوسانات بازار وابسته به پارامتر واریانس می باشد. تعریف دیگر آن انحراف معیار برگشتی سهام باشد؛ یعنی جذر واریاسیون درجه دو فرایند قیمت فهرست سهام.

تعریف دیگر آن می تواند

The standard deviation of the stock’s returns; this is the square root of the quadratic variation of the stock’s log price process;

باشد. در برخی منابع آن را sigma is volatility of risky activities هم می گویند. در جای دیگری آن را تسهیلات محصولات بیان کرده اند.

در خصوص پارامتر دریفت می توان گفت که

In probability theory, stochastic drift is the change of the average value of a stochastic (random) process  AND drift rate is rate at which the average changes

آن را با مو هم نشان می دهند و به آن نرخ بهره  یا interest rateand می گویند.

در واقع اگر S قیمت سهام باشد؛  Drift Rate نرخ افزایش سالانه S می باشد. به آن

denotes the continuously compounded expected return on the stock;[5]

هم میگن

روش های مختلفی به منظور برآورد ضرایب معادلات دیفرانسیل براونی وجود دارد که ما در اینجا  از رویکرد نا پارامتریک استفاده می کنیم و آن را فرموله کرده نمایش می دهیم.

دیتاستی که لینک خریدش در فروشگاه سایت هست مربوط به بورس استرالیاست رو با کد های R‌می خونیم و کمی روش تحلیل می کنیم

به کمک کد زیر دیتاست را وارد سیستم می کنیم.

(library(readxl

(“Dataset <- read_excel(“D:/Dataset.xlsx

(View(Dataset

حال نوبت به استفاده از ترند برای نمایش وضعیت قیمت سهام می رسد. برای این منظور از ggplot  استفاده می کنیم.

(install.packages(“ggplot2”, dep=T

(library(ggplot2

(“”)ggplot(Dataset, aes(x=Dataset$Date, y=Dataset$Volume)) + geom_line() + xlab

خروجی به قرار زیر می باشد. محور افقی؛ زمان می باشد و محور عمود؛قیمت سهام می باشد. ملاحظه می کنید که قیمت سهام در نیمه دوم هر ماه شروع به افزایش پیدا می کند؛ همچنین پس از سال نو افت اندکی مشاهده شده و سپس افزایش قیمت سهام قابل مشاهده می باشد. می توان نتیجه گرفت که فروش شرکت در نیمه دوم هر ماه بیشتر می شود یا تقاضا از عرضه بیشتر می شود یا در ابتدای هر ماه شرکت اعلام افزایش سرمایه می کند و نتیجتا با افزایش سهام شرکت؛ قیمت ها کاهش پیدا میکند. از طرفی ظاهر نمودار مشخص است که بازار از یک روند عادی پیروی می کند و افزایش یا کاهش عجیب قیمت مشاهده نمی شود.

ما به کمک کد های زیر در R نشان می دهیم که این دیتاست به صورت نرمال توزیع شده است.

(require(MASS

(hist(Dataset$Volume, freq=F

fit<-fitdistr(Dataset$Volume,”log-normal”)$estimate

(lines(dlnorm(0:max(Dataset$Volume),fit[1],fit[2]), lwd=3

خروجی آن به صورت زیر می باشد.

مشاهده می کنید که این داده ها نرمال می باشند و می توان برای فرایند پیش بینی در GBM مورد استفاده قرار بگیرند.

موارد دیگری نیز در منبع ۱ ارائه شده است که صورت مساله باید از آن تبعیت کند تا قادر به مدلسازی باشیم

از جمله

The company is a going concern, and its stock prices are continuous in time and value.

با توجه به این مورد؛ داده های ما روزانه می باشد و همچنین به صورت مداوم این اطلاعات موجود می باشد. لذا این شرط ارضا می شود.  در منبع شماره [۲] نیز همین مورد را به صورت ریاضی بدین صورت بیان می کند:

Brownian motion is a process Bt. Then it has Continuity means Bt has a continuous path and B (t=0) = 0

بعلاوه یکی از ویژگی های مهم دیگر نیز به قرار زیر می باشد.

• Stocks follow a Markov process, meaning only the current stock price is relevant for predicting future prices.

بنظر می رسد این مورد نیز توسط داده های ما ارضا می شود. دلیل آن هم می توان به واقعی بودن داده ها اشاره کرد. چون در صورت سوال این مورد تاکید نشده ما از شبیه سازی آن خودداری می کنیم. خصیصه مارکوف می گوید که

 the probability distribution of the price at any particular future time depends only on the current stock price.

در منبع شماره [۲] این مورد به صورت شبه ریاضی بیان شده است 

Markov property: The conditional distribution B(t) given information up to time

(s<t depends only on the B(s.

ابتدا مقدار سالیانه را برای دو پارامتر مذکور محاسبه می کنیم. برای این منظور مقادیر ابتدای می هر سال از سال ۲۰۱۰ الی ۲۰۱۸ را در دیتاست نگهداری کرده و به برنامه فراخوانی می کنیم. به کمک قطعه کد زیر مقدار دریفت و سیگما را بدست می آوریم :

حال ما مقدار روزانه مورد نظر طی سه ماهه را انتخاب کرده که در صورت سوال مشخص بود و مقادیر را بدست می آوریم.





چون GBM یک فرایند تصادفی و وابسته به t0 می باشد و از طرفی حرکت سهام به کمک Drift و Volatility در گذر زمان به کمک روش هایی همچون Random Walk انجام می شود؛ در نتیجه تحلیل کل دیتاست برای استخراج این دو پارامتر بسیار مهم و تعیین کننده می باشد زیرا قرار است مسیر تغییرات سهام توسط این دو پارامتر تعیین و پیش بینی شود

?(Are the parameters constants (with time

بله این دو پارامتر برای یک دیتاست مشخص ثابت می باشند

?How this could affect the model performance

چون این دو پارامتر ثابت می باشند و نیازی به محاسبه آنها به ازای هر بار آموزش مجموعه Train نیست، تعداد محاسبات را کاهش داده و در نتیجه سرعت و کارایی افزایش پیدا می کند.

پیش از ارائه کد و نتایج ما متوجه شدیم دیتاست برای برخی از روز ها در سه ماهه مورد نظر حاوی داده نمی باشند؛ لذا تصمیم گرفتیم این روز ها را با مقادیر روز قبلی جایگزین کنیم.

در حالت کلی ما تعداد ۸۷ عدد رکورد داریم و قصد داریم ۱۵ روز آینده یعنی ۱۵هم ژوئن را پیش بینی کنیم. در نتیجه باید

۸۸+۱۵ برابر  103 امین روز را پیش بینی کنیم.

فرمول مورد نظر در صورت سوال را به صورت زیر در r کد می کنیم. مقدار mu و Sigma را قبلا محاسبه کرده بودیم.



از کد خروجی می گیریم :

مشاهده می کنید که خروجی در f2[103] برابر ۲۴۸۲۶۳۲ می باشد. حال روز ۱۵هم ژوئن را در دیتاست مشاهده می کنیم :

آنچه به نظر می رسد این می باشد که خروجی قابل قبول می باشد. آنچه از این خروجی قابل برداشت است این است که به کمک دو پارامتر که پیش محاسبه کردیم؛ فرمول قیمت حدودی سهام را به راحتی و به سرعت پیش بینی شد. این فرمول سرعت بسیار بالا و تا حدودی دقت خوبی دارد.

خبر خرید شرکت IntraPower توسط این شرکت به مبلغ ۱۲٫۸ میلیون دلار در تاریخ ۱۴ جولای ۲۰۱۱ باعث افزایش شدید قیمت سهام این شرکت شد. طوری که ۱۵ هم قیمت سهام برابر ۵۸۰۶۶۱ می باشد و در مورخه ۱۸ جولای ارزش این سهام برابر ۲۱۴۳۴۶۶ می باشد که بسیار زیاد شده است.ما پارامتر های مو و سیگما را برای ماه قبل از آن یعنی ژوئن استخراج کردیم. بدین صورت که مو برابر منفی ۰٫۰۰۲۵۲۱۴۵۴ شده است و پارامتر سیگما برابر ۰٫۸۵۴۶۷۵۸ شده است. از طرفی در ماه بعد پس از اعلام این خبر پارامتر مو برابر ۰٫۰۶۰۸۷۳۵ شد و سیگما برابر ۰٫۶۷۷۳۹۴۴ شده است. مشاهده می کنید نرخ بهره یا دریفت ریت با انتشار این خبر افزایش چشم گیری داشته و مثبت شده است درواقع بازده مورد انتظار در سهام را تقویت کرده است. از طرفی پارامتر سیگما که همان نوسان بازار می باشد کاهش یافته و نزول کرده است و این حاکی از کاهش نوسان بازار می باشد.

خبر خرید شرکت Telecom New Zeland در ۹هم دسامبر ۲۰۱۳ به ارزش ۴۵۰ میلیون دلار نیز ارزش سهام همان روز این شرکت را به طرز عجیبی بالا برد طوری که در تاریخ ۶ دسامبر برابر ۳۹۳۸۲۰ بود و در آن روز به ۳۰۰۳۱۲۲ تغییر کرد که بسیار بالا می باشد. ما برای این خبر نیز سه ماه نوامبر و دسامبر ۲۰۱۳ و ژوئن ۲۰۱۴ را تحلیل کردیم که چه تغییراتی داشته اند.

جدول زیر این اطلاعات را نمایش می دهد :

تاریخپارامتر موپارامتر سیگما
نوامبر ۲۰۱۳-۰٫۰۶۴۶۷۹۵۷۰٫۶۵۶۱۳۳۴
دسامبر ۲۰۱۳ ۰٫۰۳۱۷۴۶۱۲۰٫۸۸۱۹۶۴۹
ژوئن ۲۰۱۴– ۰٫۰۱۹۸۰۷۲۴۰٫۳۸۲۰۵۷۳

مشاهده می کنید که پس از انتشار خبر؛ پارامتر مو بیشتر شده و به روند خود ادامه داده است. این نشان میدهد که نرخ بهره با انتشار خبر تاثیر مثبت خود را در بازار گذاشته و ادامه دار شده است. از طرفی پس از انتشار خبر؛ در همان ماه پارامتر سیگما بسیار بالا رفته و نشان از نوسان بیشتر بازار داشته است. ولی در ماه بعد نوسان کاهش پیدا کرده و یک سیر صعودی در قیمت سهام این شرکت را می توان دید.

همین مورد در تاریخ ۱۳ مارس ۲۰۱۵ با خرید شرکت دیگری باعث افزایش شدید قیمت سهام خود در آن روز شد. حتی مواردی مثل قدم گذاشتن این شرکت در یک بازار جدید نیز باعث افزایش قیمت سهام این شرکت شده است. به عنوان مثال در ۱۷ سپتامبر ۲۰۱۳ این شرکت اعلام کرد که قصد قدم گذاشتن در یک حوزه دیگر در اقتصاد می باشد که با افزایش قیمت سهام مواجه شد. ما از بررسی پارامتر ها در این مورد خود داری می کنیم و می دانیم که باز هم روند بازار مانند تحلیل های قبلی می باشد.

در صورت سوال قید شده است که Comment on the model’s performance. در جواب می توان گفت بدیهی است هر چه پیش محاسبه برای یک فرمول بیشتر باشد و مقادیر بیشتری در حافظه آماده شده باشند؛ سرعت مدلسازی و پاسخگویی مدل بالا می رود. در این مورد سرعت این مدل فوق العاده است زیرا هم فرمول ساده می باشد و هم پیش محاسبات آماده در گذشته انجام شده و اکنون فقط از آن استفاده می کنیم

ضعف های مدل GBM به قرار زیر می باشد

  • Geometric Brownian Motion is continuous, i.e. no jumps in the stock price paths.
  • It cannot become zero, whereas companies can default.
  • The likelihood of large price movements is smaller than observed in real markets
  • The distribution of relative movements following the normal distribution is symmetric, in practice a common pattern is: many small movements up, and fewer but larger movements down.
  • In practice large movements tend to be clustered together, followed by long periods of little movements, i.e. no regimes.
  • the main driver of uncertainty is a Wiener process, which goes back to the discrete binomial model for stock prices. In reality the main stochastic source could be something completely different.
  • drift and σ are depending directly on your stock price. Why should they?

یکی از معایب الگوی حرکت براونی هندسی ثابت در نظر گرفتن نوسانات است و مشکل دیگر این الگو عدم توجه به نقش اطلاعات در بازار سهام است

نتیجتا همانطور که مشاهده کردید؛ این مدل توانست به حد قابل قبولی قیمت سهام را پیش بیینی کند. بعلاوه اخبار خوب و بد می تواند تا حدود کمی در نتیجه این فرمول تغییر ایجاد کند. از طرفی توانسته به حد قابل قبولی افت و خیزهای سهام را پیش بینی کند. با اینکه فرمول قوی می باشد ولی وابستگی آن به مو و سیگما می تواند برای آن مشکل ساز شود. از طرفی چون مجبوریم در ابتدا پیش محاسبه ای برای مو و سیگما داشته باشیم؛ این خود می تواند یک دلیل برای کاهش دقت مدل باشد.

Bakshi, G. Cao, C, Chen, Z, (1997), Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models, the Journal of Finance, Vol. LII. No. 5.

Reno, R. Bandi, F, (2008), Nonparametric Stochastic Volatility, SoFiE Inaugural conference.

Abdelmoula Dmouj , Stock price modelling: Theory and Practice, Faculty of sciences Amsterdam, The Netherla

Introduction to Brownian Motion and Ito’s Lemma. Power point. Download : https://web.ma.utexas.edu/users/mcudina/Sections20_1_2_3

TPG Telecom Limited: proposal to acquire IntraPower Limited(PDF). Australian Securities Exchange. 14 July 2011. Retrieved ۲۲ November ۲۰۱۳.

 http://investor.iinet.com.au/IRM/ShowDownloadDoc.aspx?SiteId=140&AnnounceGuid=9004979b-cd65-4740-91b7-1cce3bc38fa2

“TPG to build fibre to the basement”. iTnews. 17 September 2013. Retrieved ۱۷ November ۲۰۱۳٫

https://quant.stackexchange.com/questions/9559/shortcomings-of-generalized-brownian-motion-for-asset-price-modelling

نظر شما

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

پاسخ من را به ایمیلم ارسال کن

پرفروش ترین محصولات

جدید ترین محصولات


مشاوره می خواهید؟ ما همیشه آنلاین هستیم. در هر حوزه ای در تلگرام یا واتس آپ با شماره تلفن 09367938018 ارتباط بگیرید
+
مشاوره می خواهید؟ ما همیشه آنلاین هستیم. در هر حوزه ای در تلگرام یا واتس آپ با شماره تلفن 09367938018 ارتباط بگیرید
+