گذری بر ابعاد فرکتال (بعد فرکتال یا بعد Fractal)

یکی از روش هایی که در پایان نامتون می تونید روش مانور بدید همین روش ابعاد فرکتاله. در واقع آوردن این بحث به وبکاوی کار خودمه و تمایل دارم دوستان با مشاوره رایگان من اطلاعات خوب و مفیدی در این زمینه بدست آورده و مقاله مشترک بدیم. برای این منظور با آی دی تلگرام Research_moghimi@ ارتباط برقرار کنید.

روشهای محاسبه بعد فرکتال

 

  1. Corolation Dimintion

بعد همبستگی یک معیار اندازه گیری ابعاد فضای اشغال شده توسط مجموعه ای از نقاط تصادفی می باشد این نقاط می تواند حاصل یک مکانیک هرج ومرج و آشوبگون و یا یک مولد اعداد تصادفی و یا یک فرکتال باشد به عنوان مثال بعد یک نقطه ۰ و یک خط ۱ و یک صفحه ۲ میباشد و این همان برداشت طبیعی ما از ابعاد است مزیت عمده این روش سرعت بالای آن می باشد

تعریف :

  1. Box-counting Dimension

روش شمارش مشبک یا بعد مینکوفسکی یکی از راههای تعیین بعد فرکتالی یک مجموعه نقاط در فضای اقلیدسی یا به طور کلی تر در یک فضای متریک می باشد ، برای محاسبه این بعد  مجموعه نقاط در یک شبکه که به طور مساوی در تمام ابعاد تقسیم شده است قرار می گیرد  و با شمارش تعداد خانه هایی که این مجموعه نقاط را پوشش می دهد محاسبه می گردد

تعریف:

 

fractal Dimension

بعد فرکتال یک مقیاس عددی برای میزان پر شدگی فضا توسط یک الگو می باشد که  برای توصیف گستره وسیعی از اشیا انتزاعی و واقعی مربوط به پدیده های علمی از جمله آشوب ، رشد شهری ، نقشه ، اعداد تصادفی ، پزشکی استفاده میشود

از مهمترین روشهای محاسبه بعد فرکتال box-counting  و Corolation Dimintion می باشد.

در زیر چند نمونه اشکال فرکتال ۱ ، ۲  و ۳  بعدی به همراه بعد فرکتال آمده است

و چند نمونه از فرکتالهای طبیعی در زیر آمده است

بعد فرکتال اعداد تصادفی

یک مولد اعداد تصادفی دنباله ای از اعداد تولید میکند که باید شرایطی را داشته باشد تا به آن یک مولد خوب اطلاق گردد و معیارها و تستهای برای سنجش آن وجود دارد از جمله آزمون همبستگی ، آنتروپی ، مربع کای ،کلموگروف – سمیرنوف و آزمونهای دیگر

یک مولد تصادفی اعدادی تولید میکند که این اعداد می تواند به یک فضای متریک نگاشت شود که در نتیجه نقاطی تعریف میشود که خود نقاط فضایی را اشغال می کند پس از نظر تئوری می توان برای آن بعد در نظر گرفت در ادامه به بحث در مورد ابعاد یک مولد تصادفی و نحوه محاسبه آن می پردازیم

از معیارهای مهم اعداد تصادفی استقلال و یکنواختی در تولید اعداد می باشد

فرض کنیم مولد تصادفی داریم که n عدد مختلف تولید میکند ، دنباله اعداد تولید شده توسط این مولد را به صورت زیر در نظر می گیریم.

 

اما در یک فضای m بعدی که فقط توسط نقاط مولد ساخته شده باشد دقیقا  نقطه منحصر به فرد وجود دارد که احتمال اینکه مولد آنرا تولید کند  است باید هر بردار دلخواه در این فضا توسط مولد تولید شود که تمام فضای m بعدی را اشغال می کند پس یک مولد تصادفی که کاملا مستقل باشد و همه اعداد مورد انتظار را تولید کند تمام فضای را اشغال میکند و دارای بعد فرکتال m  می باشد و هر چه این دو معیار پایین بیاید بعد فرکتال نیز پایین می آید.

با توجه به تعریف بالا یک مولد تصادفی ایدال باید دارای بعد فرکتالm  در فضای m  بعدی باشد یعنی باید تمام فضای m بعدی را پوشش دهد و این معیار باید با افزایش ابعاد ثابت بماند ، پس محاسبه بعد فرکتال می تواند معیاری جهت سنجش برتری یک مواد نسبت به یک مولد دیگر باشد

آزمونهای که برای سنجش یک مواد تصادفی مورد استفاده قرار میگیرد معمولا مولد را به صورت یک بعدی و نهایتا دو بعدی مورد بررسی قرار میدهند مثلا تست همبستگی اعداد را در فضای دو بعدی مورد ارزیابی قرار می دهد لذا ممکن است دو مولد تمامی آزمونهای را پاس کنند و در ارزیابی هیچ برتری نسبت به هم نداشته باشند ولی با آزمون فرکتال اختلاف آنها مشخص گردد

در ادامه روش محاسبه بعد فرکتال یک مولد تصادفی با روش box-counting  و Corolation Dimintion   بررسی شده است

 

  1. روش Corolation Dimintion 

 

  1. روش box-counting

۱٫ نمودار فاز

برای محاسبه بعد فرکتال ، ابتدا برای اعداد تولید شده مجموعه نقاط  در فضای m بعدی بر اساس تعریف … بدست می آید که به این نقاط را نمودار فاز مولد گویند که هر چه مولد اعداد بیشتری تولید کند نقاط فاز ، فضای بیشتری را میپوشاند و حال با استفاده از روش box-counting  بعد فرکتال محاسبه میگردد

نمودار فاز به تنهایی نمی تواند معیار مناسبی برای محاسبه بعد فرکتال باشد زیرا   فقط تنوع تولید اعداد را نشان می دهد و در مورد استقلال و همچنین یکنواختی تولید اعداد اطلاعاتی به ما نمی دهد در ادامه دو روش معرفی میگردد

۲٫ ماتریس انتقال در فضا

فرض کنیم مولد تصادفی باید n عدد مختلف تولید کند دنباله N عدد تولید شده توسط   این مولد در نظر میگیریم پس این مولد مجموعه نقاط rk  در فضای m  بعدی تولید میکند ، تابع زیر که معرف انتقال از یک نقطه به یک نقطه دیگر در فضای m     بعدی توسط این مولد تصادفی است در نظر می گیریم

 

۳٫ نمودار فاز اصلاح شده

روش ماتریس انتقال نیاز به یک آرایه  N به توان ۲m خانه ای دارد که با افزایش بعد و همچنین تولید اعداد بیشتر توسط مولد به سرعت بالا می رود مثلا برای یک مولد که فقط ۱۰ عدد مختلف تولید میکند محاسبه بعد فرکتال در فضای سه بعد نیاز به حافظه  ۱۰۰۰۰۰۰= ۲*۳ ^۱۰ دارد که با افزایش تعداد و ابعاد به سرعت افزایش میاید در ادامه یک روش که نیاز به حافظه کمتر میباشد ارائه میگردد

در این روش نقاط فاز rk در هر مرحله توسط یک خط مستقیم در فضای m بعدی به هم متصل میگردند و با این توجه به این که هر چه تولید مولد در تولید اعداد استقلال بیشتری داشته باشد خطوط بیشتری توسط این مولد درفضا رسم میگردد پس فضای بیشتراشغال میگردد پس بعد فرکتال مولد بالاتر می رود ، همچنین وجود سیکل در مولد موجب میشود بعضی از خطوط تکرار گردند که دراشغال فضا تاثیری ندارد

جهت محاسبه با این روش برای فضای m  بعدی با روش مشبک در این روش باید تعداد مشبکها در نظر گرفته شود و بعد بعد فرکتال محاسبه گردد ، هر چه تعداد مشبک بیشتر گردد دقت نیز بالاتر میرود ، لذا در این حالت یک آرایهLm در نظر گرفته میشود که L ابعاد مشبک میباشد حال به ترتیب که نقاط فاز تولید میشود نقاطی که توسط خط واسط بین این نقاط بدست میآید در آرایه مورد نظر ۱ میگردد و بعد از شمارش این نقاط (N one ) از فرمول زیر بعد فرکتال بدست می آید

مهمترین نکته این روش ، مشخص نمودن نقاطی در آرایه است که حد فاصل دو نقطه فاز در فضای m بعدی است ، جهت محاسبه میتوان از الگوریتم برسنهام استفاده کرد ، این الگوریتم که در گرافیک کامپیوتری برای ترسیم خطوط استفاده میشود نقاط روی یک خط را با سرعت محاسبه میکند که میتوان جهت تعیین نقاط در آرایه مفروض استفاده گردد.

 

معیار ارزیابی بعد فرکتال مولد اعداد تصادفی

همانطور که اشاره شد ، بعد فرکتال معیاری جهت سنجش و ارزیابی استقلال و یکنواختی یک مولد تصادفی می باشد ولی چه لزومی به محاسبه بعد فرکتال در ابعداد بالاتر می باشد ، از نظر نتوری یک مواد تصادفی بینهایت بعد دارد لذا بین دو مولد تصادفی که هر دو تمام تست ها را پاس میکنند آن مولدی که بعد بالاتری داشته باشد قاعدتا مواد بهتری است ما میتوانیم بعد فرکتال را برای دو مولد محاسبه کنیم اگر در یک مرحله بعد فرکتال یک مولد کمتر از دیگری شد نشان دهنده برتری مولد می باشد

یکی دیگر از کاربردهای بعد فرکتال ساختن مولد تصادفی از یک مولد می باشد ، فرض کنیم مولد یک بایتی خوبی داریم که اعداد ۰ تا ۲۵۵ را تولید میکند ، آیا میتوان با تکرار ۲ بار این مولد ، یک مولد ساخت که اعداد ۲ بایتی از ۰ تا ۶۵۵۳۵ تولید کند ؟

جواب این است که اگر مولد یک ، دارای بعد فرکتال ۲ در فضای ۲ بعدی باشد میتوان از آن برای ساخت یک مولد قویتراستفاده کرد و نیازی بع استفاده از فرمولهای پیجیده تر که معمولا از ضرب اعداد بزرگ اول و همنهشتی استفاده می کنند نمی باشد ، مولدهای کوچک سرعت بالاتری دارند که میتوان با همین روش مولدهای بزرگتری ساخت

 

 

 

۵ Comments

Add a Comment

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

پاسخ من را به ایمیلم ارسال کن